वास्तविक संख्याएँ (Real numbers)

महत्वपूर्ण तथ्य :-

1.यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका :- दो धनात्मक पूर्णांक a और b दिए रहने पर ऐसी अद्धितीय पूर्णसंख्याएँ q और r        विद्यमान है, कि a = bq + r, जहाँ  है : 

2. ल० स० (a , b) x म० स० (a , b ) = a x b

3. यदि x = एक परिमेय संख्या ऐसी है कि q , 2^m 5ⁿ के रूप का है, जहाँ m और n ऋणेतर पूर्णांक हैं। तब x का दशमलव प्रसार सांत होता है।

4. यदि x = एक परिमेय संख्या ऐसी है कि q , 2^m 5ⁿ के रूप का नहीं है, जहाँ m , n ऋणेतर पूर्णांक हैं तब x का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होता है

5. परिमेय संख्या – कोई भी संख्या जो जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q ≠ 0, के रूप में व्यक्त किया जा सके परिमेय संख्या कहलाती है।

6. अपरिमेय संख्या – कोई भी संख्या जो जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q ≠ 0, के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सके अपरिमेय संख्या कहलाती है।

अपरिमेय संख्या के कुछ उदाहरण : –

√2,√3,√5,√6,√7,

7. एक परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का योग या अन्तर एक अपरिमेय संख्या होती है।

8. एक शून्येतर परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का गुणनफल या भागफल एक अपरिमेय संख्या होती है।

वस्तुनिष्ठ प्रश्न

1.सह अभाज्य संख्याओं का म०स होता है :

(A) 2

(B) 1

(C) 3

(D) इनमें से कोई नहीं

Ans :- B

2. यदि दो संख्याओं का गुणनफल 2166 है एवं उनका म०स० 19 है, तो उनका ल०स० होगा

(A) 38

(B) 57

(C) 114

(D) इनमें से कोई नहीं

Ans :- C

3. यदि a = (2³ x 3 x 5) और b = (2⁴ x 5 x 7) तब ल०स० (a, b) होगा :

(A) 40

(B) 560

(C) 1120

(D) 1680

Ans :- D

4. यदि m एक धनात्मक पूर्णांक है, तो धनात्मक विषम पूर्णांक का रूप होगा :

(A) 4m + 2

(B) 4m + 4

(C) 4m + 1

(D) इनमें से कोई नहीं

Ans :- C

5. निम्नलिखित में कौन-सी अभाज्य संख्या है ?

(A) 27

(B) 35

(C) 13

(D) 56

Ans :- C

6. निम्नलिखित में कौन – सा अपरिमेय संख्या है ?

Ans :- A

7. 144 के अभाज्य गुणनखंड में 2 का घातांक है:

(A) 3

(B) 6

(C) 4

(D) 5

Ans :- C

8. निम्नलिखित में कौन-सा परिमेय संख्या है ?

Ans :- A

9. निम्नलिखित में कौन-सा अभाज्य संख्या है ?

(A) 91

(B) 213

(C) 41

(D) 501

Ans :- C

10. निम्नलिखित में किसका दशमलव प्रसार असांत है ?

(A) 23 / 50

(B) 39 / 243

(C) 25 / 1600

(D) 13 / 625

Ans :- B

11. एक अशून्य परिमेय और अपरिमेय संख्या का गुणनफल होगा :

(A) हमेशा परिमेय

(B) हमेशा अपरिमेय

(C) एक

(D) परिमेय या अपरिमेय

Ans :- B

12. 45 तथा 60 का म०स० है:

(A) 45

(B) 3

(C) 1

(D) 15

Ans :- D

(A) परिमेय संख्या

(B) अपरिमेय संख्या

(C) पूर्णांक संख्या

(D) इनमें से कोई नहीं

Ans :- B

14. यदि f (x) = x³ – 5x² + 2x + 2 तो f (1) का मान है:

 (A)  0

(B)  2

(C)  1

(D) – 1

Ans :- A

Ans :- A

16. 8⁰ x 2⁰ =

(A) 0

(B) 1

(C) 16

(D) 4

Ans :- B

17. यदि a और b अभाज्य संख्याएँ है, तो a और b का ल०स० है

 (A) a

(B) b

(C) ab

(D) a / b

Ans :- C

18. निम्नलिखित में से कौन अभाज्य संख्या है ?

(A) 15

(B) 23

(C) 12

(D) 75

Ans :- B

19. निम्नलिखित में से कौन परिमेय संख्या है ?

Ans :- C

20. यदि 65 तथा 117 का म०स० 65m 117 के रूप में है, तो m का मान है :

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

Ans :- B

21. 2, 10 और 20 के ल0 स० और म० स० का अनुपात है

(A) 1 : 10

(B) 10 : 1

(C) 4 : 3

(D) 11 : 1

Ans :- B

22. सबसे छोटी भाज्य संख्या और छोटी अभाज्य संख्या का म०स० कितना होगा ?

(A) 1

(B) 2

(C) 4

(D) इनमें कोई नही

Ans :- B

23. दो लगातार संख्याओं का म०स० है :

(A) 0

(B) 1

(C) 2

(D) 4

(d) 7

Ans :- B

24. 5005 के कितने अभाज्य गुणनखंड हैं ?

(A) 2

(B) 4

(C) 6

(D) 7

Ans :- B

25. कितने दो अंकों की संख्या 3 से विभाज्य है ?

(A) 25

(B) 30

(C) 32

(D) 36

Ans :- B

26. दो संख्याओं का गुणनफल 8670 है और उसका म० स० 17 है, तो उसका ल०स० होगा :

(A) 102

(B) 85

(C) 107

(D) 510

Ans :- D

27. 6, 8 और 22 का ल०स० और म० स० का अनुपात है

(A) 132 : 1

(B) 2 : 22

(C) 8 : 6

(D) 12 : 3

Ans :- A

28. 96 का अभाज्य गुणनखंड क्या होगा ?

(A) 2⁴ x 3²

(B) 2³ x 3³

(C) 2⁵ x 3

(D) 2 x 3⁵

Ans :- C

29. 0.3 का परिमेय रूप में लघुतम रूप है :

(A) 3 / 10

(B) 2 / 9

(C) 1 / 3

(D) 3 / 5

Ans :- C

(A) परिमेय संख्या

(B) अपरिमेय संख्या

(C) भिन्न संख्या

(D) पूर्णांक

Ans :- B

31. निम्न में से कौन परिमेय संख्या है ?

Ans :- D

32. 0 और 50 के बीच विषम संख्याओं की संख्या है :

(A) 26

(B) 25

(C) 27

(D) 24

Ans :- B

33. 5, 15 और 20 के ल०स० और म० स० का अनुपात है

(A) 9 : 1

(B) 4 : 3

(C) 11 : 1

(D) 12 : 1

Ans :- B

34. निम्न में कौन अपरिमेय नहीं है ?

Ans :- D

35. दो संख्याओं a और 18 का ल• स• 36 तथा म० स० 2 है, तों a का मान है :

(A) 2

(B) 3

(C) 4

(D) 1

Ans :- C

36. यदि p तथा q दो अभाज्य संख्याएँ हैं, तो उनका म० स० है :

(A) 2

(B) 0

(C) 1 या 2

(D) 1

Ans :- D

37. सबसे छोटी अभाज्य और सबसे छोटी भाज्य संख्या का गुणनफल है :

(A) 10

(B) 6

(C) 8

(D) 4

Ans :- C

38. निम्न में कौन-सी अभाज्य संख्या है ?

(A) 29

(B) 25

(C) 16

(D) 15

Ans :- A

(a) एक पूर्णांक

(b) एक परिमेय संख्या

(c) एक प्राकृत संख्या

(d) एक अपरिमेय संख्या

Ans :- B

40. किसी पूर्णांक m के लिए सम संख्या का रूप है :

(a) m + 2

(b) 2m + 1

(c) 2m

(d) 2m – 1

Ans :- C

41. निम्न में से कौन-सा अपरिमेय नहीं हैं ?

Ans :- A

42. निम्नलिखित में किसका दशमलव प्रसार सांत है ?

Ans :- A

(A) सांत

(B) असांत

(C) आवर्ती

(D) इनमें से कोई नहीं

Ans :- A

(A) परिमेय संख्या

(B) अपरिमेय संख्या

(C) भिन्न संख्या

(D) पूर्णांक

Ans :- B

45. निम्नलिखित में कौन अपरिमेय संख्या है ?

Ans :- C

46. निम्नलिखित में कौन-सी अभाज्य संख्या है ?

(A) 6

(B) 9

(C) 15

(D) 11

Ans :- D

47. दो परिमेय संख्याओं के बीच कितनी परिमेय संख्या हो सकती है ?

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) अनंत

Ans :- D

(A) सांत

(B) असांत

(C) ‘a’ और ‘b’ दोनों

(D) इनमें कोई नहीं

Ans :- B

49. निम्नलिखित में कौन अपरिमेय संख्या है?

Ans :- C

(A) परिमेय संख्या

(B) अपरिमेय संख्या

(C) प्राकृत संख्या

(D) इनमें कोई नहीं

Ans :- B

51. दो या दो से अधिक अभाज्य संख्याओं का म. स. है :

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) इनमें कोई नहीं

Ans :- A

52. निम्नलिखित में कौन परिमेय संख्या है ?

Ans :- B

53. दो क्रमिक सम संख्याओं का H. C. F होगा :

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 5

Ans :- B

54. किसी धनात्मक पूर्णांक a तथा b के लिए (a, b) का का म. स. x (a, b) ल०स० निम्न में से किसके बराबर है?

(A) a/b

(B) b/a

(C) a x b

(D) a + b

Ans :- C

55. यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म दो धनात्मक पूर्णांकों के निम्न में किसे परिकलित करने का तकनीक है:

(A) ल. स.

(B) म. स.

(C) भागफल

(D) शेषफल

Ans :- B

(A) परिमेय संख्या

(B) अपरिमेय संख्या

(C) पूर्ण संख्या

(D) इनमें कोई नहीं

Ans :- B

57. निम्नलिखित में कौन अपरिमेय संख्या नहीं है? 

Ans :- D

58. √3 और √5 है :

(a) पूर्णांक संख्या

(b) एक अपरिमेय संख्या

(c) एक परिमेय संख्या

(d) इनमें कोई नहीं

Ans :- B

59. निम्नलिखित में कौन-सा भिन्न का दशमलव प्रसार सांत होगा?

Ans :- D

60. 2.13113111311113 …… है :

(a) परिमेय संख्या

(b) पूर्णांक संख्या

(c) अपरिमेय संख्या

(d) इनमें कोई नहीं

Ans :- C

(A) परिमेय संख्या

(B) अपरिमेय संख्या

(C) अभाज्य संख्या

(D) इनमें कोई नहीं

Ans :- A

62. (3 – √3) है :

(A) परिमेय संख्या

(B) अपरिमेय संख्या

(C) एक पूर्णांक संख्या

(D) इनमें कोई नहीं

Ans :- B

(A) एक पूर्णांक संख्या

(B) एक अपरिमेय संख्या

(C) एक परिमेय संख्या

(D) इनमें से कोई नहीं

Ans :- C

64. 5.2333……… है :

(A) एक पूर्णांक संख्या

(B) एक परिमेय संख्या

(C) एक अपरिमेय संख्या

(D) इनमें कोई नहीं

Ans :- B

(A) परिमेय संख्या

(B) अपरिमेय संख्या

(C) सम संख्या

(D) इनमें कोई नहीं

Ans :- B

66. भाज्य a और भाजक b के लिए a = bq + r में के लिए कौन-सा सत्य है ?

Ans :- C

67. 5√2 है :

(A) परिमेय संख्या

(B) अपरिमेय संख्या

(C) काल्पनिक संख्या

(D) इनमें कोई नहीं

Ans :- B

68. 5.2372 है :

(A) पूर्णांक संख्या

(B) परिमेय संख्या

(C) अपरिमेय संख्या

(D) इनमें कोई नहीं

Ans :- B

69. निम्न संख्याओं में कौन-सी संख्या विजातीय है?

Ans :- C

70. निम्न में कौन-सा परिमेय है ?

Ans :- C

71. निम्न में कौन अलग है ?

Ans :- C

Ans :- B

73. 2 तथा 2.5 के बीच की अपरिमेय संख्या है :

Ans :- B

74. निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सही है / सत्य है ?

(A) दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल हमेशा अपरिमेय होता है ।

(B) एक परिमेय व एक अपरिमेय संख्या का गुणनफल हमेशा अपरिमेय होता है।

(C) दो अपरिमेय संख्याओं का जोड़ कभी अपरिमेय नहीं हो सकता

(D) एक पूर्णांक तथा एक परिमेय संख्या को जोड़ कभी पूर्णांक नहीं हो सकता ।

Ans :- B

(A) हमेशा प्राकृतिक संख्या

 (B) हमेशा अपरिमेय संख्या

 (C) हमेशा परिमेय संख्या

(D) कभी प्राकृतिक संख्या और कभी अपरिमेय संख्या

Ans :- D

76 . यदि प्रथम 13986 अभाज्य संख्याओं का योग N है, तो N हमेशा भाग्य होगा……… से :

(A) 6

(B) 4

(C) 8

 (D) इनमें से कोई नहीं

Ans :- D

77. (xⁿ + 1) का एक गुणक (x + 1) है तो n निश्चित रूप से :

(A) एक विषम पूर्णांक है.

(B) एक सम पूर्णांक है’

(C) एक ऋणात्मक पूर्णांक

(D) एक धनात्मक पूर्णांक है

Ans :- A

78. संख्या रेखा (नंबर लाइन) पर प्रत्येक बिन्दु प्रदर्शित करता है :

(A) एक वास्तविक संख्या

(B) एक प्राकृतिक संख्या

(C) एक परिमेय संख्या

(D) एक अपरिमेय संख्या

Ans :- A

79. निम्नलिखित में से कौन-सा भिन्न का दशमलव प्रसार सांत है ?

Ans :- C

80. सबसे छोटी पूर्ण वर्ग संख्या जो 16, 20 तथा 24 प्रत्येक से भाग्य हो, वह है :

(A) 240

(B) 1600

(C) 2400

(D) 3600

Ans :- D

81. दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्तक इनके महत्तम समापवर्तक का 14 गुणा है । लघुत्तम समापवर्त्तक (LCM) तथा महत्तम समापवर्त्तक (HCF) का जोड़ 600 है। यदि एक संख्या 280 है, वो दूसरी संख्या है :

(A) 40

(B) 80

(C) 120

(D) 20

Ans :- B

Ans :- A

83. (xⁿ + 1) का एक गुणक (x + 1) है, सिर्फ तभी :

(A) n एक धनात्मक पूर्णांक है

(B) n एक विषम पूर्णांक है

(C) n एक ऋणात्मक पूर्णांक है

(D) n एक सम पूर्णांक है

Ans :- B

84. 6 x⁴ y तथा 12xy  का महत्तम समापवर्तक है :

(A) 6x²y

(B) 6x

(C) 6y

(D) 6xy

Ans :- D

(A) 5√6

(B) 6√5

(C) √30

(D) √25

Ans :- A

 86. (3+ √3) (3-√3) एक परिमेय संख्या है :

(A) हाँ

(B) नहीं

(C) कहा नहीं जा सकता

(D) (a) और (b) दोनों

Ans :- A

87. 1.34 को परिमेय संख्या के रूप में लिखिए:

Ans :- B

88. क्या सभी वास्तविक संख्याएँ एक परिमेय संख्या है ?

(A) नहीं

(B) हाँ

(C) दोनों

 (D) कहा नहीं जा सकता

Ans :- A

Ans :- B

90. दो संख्याओं का गुणनफल =

Ans :- C

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

Ans :- D

92. संख्याओं 50 और 25 के HCF और LCM का गुणनफल है :

(A) 1000

(B) 1250

(C) 1350

(D) 5000

Ans :- B

93. 278 को किस संख्या से विभाजित करें कि भागफल 12 और शेष 2 प्राप्त हो ?

(A) 21

(B) 17

(C) 25

(D) 23

Ans :- D

94. 64 के अभाज्य गुणनखंड में 2 का घातांक है:

(A) 4

(B) 5

(C) 6

(D) 8

Ans :- C

Ans :- C

96. 18 तथा 72 का HCF है :

(A) 18

(B) 72

(C) 9

(D) 2

Ans :- A

97. √12 का परिमेयीकरण गुणांक है:

(A) √3

(B) √2

(C) √6

(D) 2√3

Ans :- A

98. निम्नलिखित में किसका दशमलव प्रसार सांत है ?

Ans :- D

99. निम्नलिखित में किसका दशमलव प्रसार असांत है ?

Ans :- C

100. निम्नलिखित में कौन-सी सबसे छोटी प्रकृति संख्या है ?

(A) 0

(B) -1

(C) 1

(D) 2

Ans :- C

101. निम्नलिखित में कौन-सी परिमेय संख्या है ?

(A) √25

(B) √5

(C) 

(D) √3+√3

Ans :- A

102. निम्नलिखित में कौन-सी अपरिमेय संख्या है ?

Ans :- C

103. यदि भाग एल्गोरिद्म a = bq +r में a = 37, b = 4, r = 1 तो q =

(A) 9

(B) 8

(C) 10

(D) 7

Ans :- A

104. 156 के अभाज्य गुणनखंड में 2 का घातांक क्या है ?

(A) 2

(B) 1

(C) 3

(D) 4

Ans :- A

105. निम्नलिखित में कौन अपरिमेय संख्या नहीं है ?

Ans :- D

Ans :- B

107. निम्नलिखित में कौन परिमेय संख्या है ?

(A) 4+√7

(B) 10 + √100

(C) 2+ √3

(D) 5 + √5

Ans :- B

108. निम्नलिखित में किसका दशमलव प्रसार सांत है ?

(A) 15/1600

(B) 19/210

(C) 3/88

(D) 3/75

Ans :- A

(A)  1

(B)  2

(C)  0

(D) a + b

Ans :- A

110. निम्नलिखित में कौन -सा युग्म सह -अभाज्य है ?

(A) (14,35)

(B) (18,25)

(C) (13,52)

(D) (21,84)

Ans :- B

111. निम्नलिखित में कौन यौगिक संख्या है ?

(A) 11

(B) 21

(C) 31

(D) 41

Ans :- B

112. निम्नलिखित में कौन अभाज्य संख्या है :

(A) 33

(B) 39

(C) 38

(D) 31

Ans :- D
113. दो संख्याओं का म० स० 27 एवं ल० स० 162 है यदि उनमें से एक संख्या 54 है तो दूसरी संख्या क्या होगी ?

(A) 36

(B) 45

(C) 9

(D) 81

Ans :- D
114. संख्याएं 12,15 एवं 21 का मoस० होगा :

(A) 3

(B) 5

(C) 7

(D) 2

Ans :- A
115. प्रत्येक परिमेय संख्या होती है :

(A) एक प्राकृत संख्या

(B) एक पूर्ण संख्या

(C) एक पूर्णांक

(D) एक वास्तविक संख्या

Ans :- D

(A) परिमेय संख्या

(B) अपरिमेय संख्या

(C) पूर्णांक संख्या

(D) इनमें से कोई नहीं

Ans :- A

Ans :- D

118. दो संख्याओं का गुणनफल 15625 है और उसका L.C.M 25 है तो उसका H.C.F होगा :

(A) 525

(B) 225

(C) 425

(D) 625

Ans :- D
119. सबसे छोटी अभाज्य संख्या :

(A) 0

(B) 1

(C) 2

(D) 3

Ans :- C
120. निम्नलिखित में कौन परिमेय संख्या है :

Ans :- C